Sadaļas: Matemātika
Nodarbības veids:
Mērķis: veido spēju faktorizēt polinomu.
Uzdevumi:
Darba metodes:
Nodarbības aprīkojums: interaktīvā tāfele vai virsraksts, tabulas ar saīsinātām reizināšanas formulām, instrukcijas, izdales materiāls grupu darbam.
Nodarbības struktūra:
Nodarbību laikā
1. Organizatoriskais moments
Skolotājs pārbauda klases un skolēnu gatavību stundai.
2. Nodarbības-prakses tēmas, mērķu un uzdevumu formulēšana
3. Mājas darbu pārbaude
Uz tāfeles ir mājasdarbu risināšanas piemēri Nr.943 (a, c); 945 (c, d). Paraugus izgatavoja klases skolēni. (Šī skolēnu grupa tika identificēta iepriekšējā stundā, viņi savu lēmumu noformēja pārtraukumā). Studenti gatavojas “aizstāvēt” risinājumus.
Skolotājs:
Mājas darbu pārbaudes skolēnu kladēs.
Aicina klases skolēnus atbildēt uz jautājumu: “Kādas grūtības radīja uzdevums?”.
Piedāvā salīdzināt savu risinājumu ar risinājumu uz tāfeles.
Aicina skolēnus pie tāfeles atbildēt uz jautājumiem, kas skolēniem radās laukā, pārbaudot paraugus.
Viņš komentē skolēnu atbildes, papildina atbildes, skaidro (ja nepieciešams).
Apkopo mājas darbus.
Studenti:
Iesniedziet skolotājam mājasdarbu.
Mainiet piezīmju grāmatiņas (pa pāriem) un pārbaudiet savā starpā.
Atbildiet uz skolotāja jautājumiem.
Pārbaudiet savu risinājumu ar paraugiem.
Viņi darbojas kā oponenti, veic papildinājumus, labojumus, pieraksta citu metodi, ja risināšanas metode piezīmju grāmatiņā atšķiras no metodes uz tāfeles.
Lūdziet nepieciešamos paskaidrojumus skolēniem, skolotājai.
Atrodiet veidus, kā pārbaudīt rezultātus.
Piedalīties uzdevumu kvalitātes novērtēšanā pie tāfeles.
4. Studentu pamatzināšanu un prasmju aktualizēšana
1. Mutiskais darbs
Skolotājs:
Atbildi uz jautājumiem:
2. Uz tāfeles ir uzrakstīti polinomi:
1. 14x3 - 14x5
2. 16 x 2 — (2 + x) 2
3. 9 - x 2 - 2xy - y 2
4.x3 - 3x - 2
Skolotājs aicina skolēnus faktorizēt polinomus Nr. 1-3:
Vienam studentam tiek piedāvāts faktorizēt polinomu Nr. 4 (paaugstinātas grūtības pakāpes individuālais uzdevums, uzdevums tiek veikts A 4 formātā). Tad uz tāfeles parādās risinājuma paraugs uzdevumam Nr.1-3 (skolotājs), risinājuma paraugs uzdevumam Nr.4 (izdarījis skolēns).
3. Iesildīties
Skolotājs dod norādījumus faktorizēt un izvēlēties ar pareizo atbildi saistīto burtu. Pievienojot burtus, jūs iegūsit 17. gadsimta lielākā matemātiķa vārdu, kurš sniedza milzīgu ieguldījumu vienādojumu risināšanas teorijas attīstībā. (Dekarts)
5. Fiziskā audzināšana Skolēni nolasa apgalvojumus. Ja apgalvojums ir patiess, tad skolēniem jāpaceļ rokas uz augšu, un, ja tā nav patiesība, tad jāsēžas pie rakstāmgalda. (2.pielikums)
6. Instrukcija, kā izpildīt darbnīcas uzdevumus.
Uz interaktīvās tāfeles vai atsevišķa plakāta, galds ar instrukcijām.
Sadalot polinomu faktoros, jāievēro šāda secība:
1. izlikt kopējo koeficientu iekavās (ja tāds ir);
2. pielietot saīsinātās reizināšanas formulas (ja iespējams);
3. pielietot grupēšanas metodi;
4. pārbaudiet rezultātu, kas iegūts reizinot.
Skolotājs:
Piedāvā norādījumus studentiem (uzsver 4. soli).
Piedāvā darbnīcu uzdevumu izpildi grupās.
Sadala darba lapas grupās, loksnes ar koppapīru uzdevumu veikšanai piezīmju grāmatiņās un to turpmākai pārbaudei.
Nosaka laiku darbam grupās, darbam piezīmju grāmatiņās.
studenti:
Viņi lasa instrukcijas.
Skolotāji uzmanīgi klausās.
Viņi sēž grupās (katra 4-5 cilvēki).
Sagatavojies praktiskajam darbam.
7. Uzdevumu veikšana grupās
Darba lapas ar uzdevumiem grupām. (3.pielikums)
Skolotājs:
Vada patstāvīgo darbu grupās.
Vērtē skolēnu prasmi strādāt patstāvīgi, prasmi strādāt grupā, darba lapas noformējuma kvalitāti.
studenti:
Veiciet uzdevumus uz koppapīra loksnēm, kas pievienotas darbgrāmatā.
Apspriediet racionālus risinājumus.
Sagatavojiet grupai darba lapu.
Sagatavojieties aizstāvēt savu darbu.
8. Uzdevuma pārbaude un apspriešana
Atbildes uz tāfeles.
Skolotājs:
Savāc lēmumu kopijas.
Pārvalda skolēnu darbu, atskaitoties par darba lapām.
Piedāvā veikt sava darba pašvērtējumu, salīdzināt atbildes piezīmju grāmatiņās, darba lapās un paraugos uz tāfeles.
Atgādina kritērijus darba vērtēšanai, dalībai tā īstenošanā.
Sniedz skaidrojumus par topošajiem lēmumiem vai pašnovērtējuma jautājumiem.
Apkopo pirmos praktiskā darba un pārdomu rezultātus.
Apkopo (kopā ar skolēniem) stundu.
Saka, ka gala rezultāti tiks summēti, pārbaudot skolēnu paveikto darbu kopijas.
studenti:
Dodiet kopijas skolotājam.
Darba lapas ir piestiprinātas pie tāfeles.
Atskaites par darbu izpildi.
Veikt darba izpildes pašvērtējumu un pašvērtējumu.
9. Mājas darbu kārtošana
Uz tāfeles uzrakstīts mājas darbs: Nr.1016 (a, b); 1017 (c, d); Nr. 1021 (d, e, f)*
Skolotājs:
Piedāvā mājas apstākļos pierakstīt obligāto darba daļu.
Sniedz komentāru par tā ieviešanu.
Aicina sagatavotākus skolēnus pierakstīt Nr.1021 (d, e, f) *.
Liek jums sagatavoties nākamajai pārskatīšanas stundai
NODARBĪBAS PLĀNS
Nodarbības veids : stunda jauna materiāla apguve, pamatojoties uz problēmmācību9 Nodarbības mērķis
radīt apstākļus polinoma faktoringa prasmju un iemaņu praktizēšanai, izmantojot dažādas metodes.
10. Uzdevumi:
Izglītojoši
atkārtojiet darbību algoritmus: kopfaktora izņemšana no iekavas, grupēšanas metode, saīsinātās reizināšanas formulas.
veidot prasmes:
– pielietot zināšanas par tēmu "polinoma faktorizēšana dažādos veidos";
– veikt uzdevumus atbilstoši izvēlētajai darbības metodei;
– izvēlēties racionālāko veidu, kā racionalizēt aprēķinus, transformēt polinomus.
Izglītojoši
ar dažādu vingrinājumu palīdzību veicināt skolēnu izziņas spēju, uzmanības, atmiņas, domāšanas attīstību;
attīstīt prasmes patstāvīgs darbs un grupu darbs; uzturēt skolēnu interesi par matemātiku
pedagogiem
uzturēt skolēnu interesi par matemātiku
11.Formas UUD
Personīgi: aktivitātes mērķa (sagaidāmā rezultāta) apzināšanās, darbības metodes apzināšanās vai izvēle (Kā es to darīšu? Kā es iegūšu rezultātu?), rezultāta analīze un novērtēšana; savu spēju novērtējums;
Normatīvie akti: ņem vērā noteikumu, plānojot un kontrolējot risināšanas veidu, plānošanu, darba rezultātu novērtēšanu;
Kognitīvā: izvēle visvairāk efektīvi veidi problēmu risināšana, zināšanu strukturēšana;pārvēršot informāciju no vienas formas uz citu.
Komunikabls: plānošanaizglītojoša sadarbība ar skolotāju un vienaudžiem, runas uzvedības noteikumu ievērošana, spēja izteikties unpamato savu viedokli, ņem vērā dažādus viedokļus un tiecas saskaņot dažādas pozīcijas sadarbībā.
12. Metodes:
pēc zināšanu avotiem: verbāls, vizuāls;
attiecībā uz kognitīvās darbības raksturu: reproduktīva, daļēji pētnieciska.
13. Studentu darba formas: frontāls, individuāls, grupa.
14. Nepieciešams Tehniskais aprīkojums: dators, projektors, interaktīvā tāfele, izdales materiāli (paškontroles lapa, uzdevumu kartes), programmā veidota elektroniska prezentācijajaudapunktu
15.Plānotie rezultāti :
Personīga pašcieņas un savstarpējas cieņas veicināšana; sadarbības attīstība, strādājot grupās;
Metasubjekts runas attīstība; studentu patstāvības attīstība; vērīguma attīstība, meklējot kļūdas.
priekšmets prasmju attīstība strādāt ar informāciju, risinājumu apguve
Nodarbību laikā:
1. Studentu sveicināšana. Skolotāja veiktās klases gatavības stundai pārbaude; uzmanības organizēšana; novērtējuma lapas apmācība1. pielikums , vērtēšanas kritēriju precizēšana.
Mājas darbu pārbaude un zināšanu papildināšana
1. 3a + 6b= 3(a + 2b)2. 100 - 20s + s 2 = (10 + s) 2
3. ar 2 - 81 \u003d (s - 9) (s + 9)
4. 6x 3 - 5x 4 = x 4 (6x - 5)
5. ay — 3 g — 4a + 12 \u003d y (a–3)–4 (a–3)
6. 0,09x 2 - 0,25 gadi 2 \u003d (0,03x - 0,05g) (0,03x + 0,05g)
7. c (x - 3) -d(x - 3) \u003d (x - 3) (s -d)
8. 14x 2 - 7x \u003d 7x (7x - 1)
9. -1600 + a 12 = (40 + a 6 ) (40 - a 6 )
10,9x 2 – 24xy + 16g 2 = (3x–4 g.) 2
11,8 s 3 – 2s 2 + 4s - 1 =
2s 2 (4s - 1) + (4s - 1) = (4s - 1) 2s 2
12. b 4 + ar 2 – 2 b 2 c = (b – c) 2
(no mācību grāmatas ņemti mājasdarbi, dažādos veidos iekļaut faktorizēšanu. Lai izpildītu Šis darbs Skolēniem jāatceras līdz šim apgūtais
Slaidā ierakstītajās atbildēs ir kļūdas, skolēni mācās saskatīt veidus, kā arī, pamanot kļūdas, atceras veidus, kā rīkoties,
Skolēni grupās, pēc mājas darbu pārbaudes, par padarīto darbu piešķir punktus.
2 Relejs2. pielikums (komandas dalībnieki pārmaiņus pabeidz uzdevumu, savukārt bultiņa savieno piemēru un tā sadalīšanas veidu)
3a-12b = 3(a – 4 b)2a + 2b + a 2 +ab = (+ b) (2 + a)
9a 2 – 16b 2 = ( 3.a–4 b)(3a + 4b)
16a 2 - 8ab+b 2 = (4а – b) 2
7.a 2 b-14ab 2 + 7ab = 7ab(a - 2b + 1)
a 2 + ab- a - ac- bc + c = (a + b - 1) (a - c)
25a 2 + 70ab + 49b 2 = ( 5a + 7 b) 2
5x 2 - 45 gadi 2 \u003d 5 (x - 3g) (x + 3g)
Nefaktorizē
Grupēšanas metode
Ar slaida palīdzību tiek pārbaudīts paveiktais darbs un pievērsta uzmanība tam, ka pēdējais piemērs ir jāapvieno ar divām sadalīšanas metodēm (iekavās kopīgo koeficientu un saīsināto reizināšanas formulu)
Skolēni novērtē paveikto, ievada rezultātus vērtēšanas lapās, kā arī formulē nodarbības tēmu.
3. Uzdevumu izpilde (skolēni tiek aicināti izpildīt uzdevumu. Apspriežot risinājumu grupā, puiši nonāk pie secinājuma, ka ir nepieciešami vairāki veidi, kā faktorizēt šos polinomus. Tiesības pierakstīt ir komandai, kura pirmā piedāvā pareizo dekompozīciju savu risinājumu uz tāfeles, pārējie pieraksta piezīmju grāmatiņā .. Komanda ir izveidojusi darbu, lai palīdzētu skolēniem, kuriem ir grūti tikt galā ar uzdevumu)
1) 2a 2 - 2b 25) 5 m 2 + 5n 2 – 10 min
9) 84 — 42 g. — 7xy + 14 x
13) x 2 y+14xy 2 + 49 gadi 3
2) 3a 2 + 6ab + 3b 2
6) cx 2 – cy 2
10) -7b 2 – 14bc – 7c 2
14) 3ab 2 – 27a
3) x 3 - 4x
7) -3x 2 + 12x - 12
11) 3x 2 - 3
15) -8a 3 b+56a 2 b 2 – 98ab 3
4) 3ab + 15b - 3a - 15
8) x 4 – x 2
12) c 4 - 81
16) 0 , 09t 4 – t 6
4. Pēdējais posms –Polinoma faktorēšana
Kopējā faktora izņemšana no iekavām
Grupēšanas metode
Saīsinātā reizināšanas formula
Nodarbības kopsavilkums. Studenti atbild uz jautājumiem:Kādu uzdevumu mēs izvirzījām? Vai mēs spējām atrisināt savu problēmu? Kā? Kādi bija rezultāti? Kā var aprēķināt polinomu? Kādiem uzdevumiem šīs zināšanas var izmantot? Kas tev labi paveicās klasē? Pie kā vēl jāpiestrādā?
Stundas laikā skolēni vērtēja sevi, stundas beigās tiek lūgts saskaitīt punktus un dot vērtējumu atbilstoši piedāvātajai skalai.
Skolotājas nobeiguma vārds: Šodien nodarbībā mācījāmies noteikt, kādas metodes jāpielieto, lai faktorizētu polinomus. Lai konsolidētu paveikto
Mājas darbs: §19, #708, #710
Papildus uzdevums:
Atrisiniet x vienādojumu 3 + 4x 2 = 9x + 36
Jēdzieni "polinoms" un "polinoma faktorizēšana" algebrā ir ļoti izplatīti, jo tie ir jāzina, lai viegli veiktu aprēķinus ar lieliem daudzvērtīgiem skaitļiem. Šajā rakstā tiks aprakstītas vairākas sadalīšanas metodes. Visi no tiem ir diezgan vienkārši lietojami, jums tikai jāizvēlas pareizais katrā gadījumā.
Polinoms ir monomu summa, tas ir, izteiksmes, kas satur tikai reizināšanas darbību.
Piemēram, 2 * x * y ir mononoms, bet 2 * x * y + 25 ir polinoms, kas sastāv no 2 monomiem: 2 * x * y un 25. Tādus polinomus sauc par binomiāliem.
Dažreiz, lai atvieglotu piemēru risināšanu ar daudzvērtīgām vērtībām, izteiksme ir jāpārveido, piemēram, jāsadala noteiktā skaitā faktoru, tas ir, skaitļos vai izteiksmēs, starp kurām tiek veikta reizināšanas darbība. Ir vairāki veidi, kā faktorizēt polinomu. Ir vērts tos apsvērt, sākot ar primitīvāko, ko izmanto pat sākumskolās.
Formula polinoma iedalīšanai faktoros ar grupēšanas metodi kopumā izskatās šādi:
ac + bd + bc + reklāma = (ac + bc) + (reklāma + bd)
Ir nepieciešams sagrupēt monomiālus tā, lai katrā grupā parādītos kopīgs faktors. Pirmajā iekavā tas ir faktors c, bet otrajā - d. Tas ir jādara, lai pēc tam izņemtu to no kronšteina, tādējādi vienkāršojot aprēķinus.
Tālāk ir sniegts vienkāršākais piemērs polinoma faktorinēšanai faktoros, izmantojot grupēšanas metodi:
10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)
Pirmajā iekavā jums ir jāņem termini ar koeficientu a, kas būs kopīgs, un otrajā - ar faktoru b. Pievērsiet uzmanību zīmēm + un - gatavajā izteiksmē. Pirms monoma ievietojām zīmi, kas bija sākotnējā izteiksmē. Tas ir, jums ir jāstrādā nevis ar izteiksmi 25a, bet ar izteiksmi -25. Mīnusa zīme it kā ir “pielīmēta” aiz tās esošās izteiksmes un vienmēr ņem to vērā aprēķinos.
Nākamajā solī jums ir jāizņem no kronšteina izplatītais faktors. Tam ir domāta grupēšana. Izņemt to no iekavas nozīmē izrakstīt pirms iekavas (izlaižot reizināšanas zīmi) visus tos faktorus, kas atkārtojas tieši visos terminos, kas ir iekavās. Ja iekavās nav 2, bet 3 vai vairāk termini, kopīgajam faktoram jābūt katrā no tiem, pretējā gadījumā to nevar izņemt no iekavas.
Mūsu gadījumā tikai 2 termini iekavās. Kopējais reizinātājs ir uzreiz redzams. Pirmā iekava ir a, otrā ir b. Šeit jums jāpievērš uzmanība digitālajiem koeficientiem. Pirmajā iekavā abi koeficienti (10 un 25) ir reizināti ar 5. Tas nozīmē, ka iekavās var ievietot ne tikai a, bet arī 5a. Pirms iekavas ierakstiet 5a un pēc tam sadaliet katru no iekavās esošajiem terminiem ar kopējo koeficientu, kas tika izņemts, un ierakstiet arī koeficientu iekavās, neaizmirstot + un - zīmes. Dariet to pašu ar otro iekava , izņemt 7b, jo 14 un 35 ir 7 daudzkārtnis.
10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).
Izrādījās 2 termini: 5a (2c - 5) un 7b (2c - 5). Katrs no tiem satur kopīgu faktoru (visa izteiksme iekavās šeit ir vienāda, kas nozīmē, ka tas ir kopīgs faktors): 2c - 5. Tas ir arī jāizņem no iekavas, tas ir, termini 5a un 7b paliek otrajā iekavā:
5a(2c-5) + 7b(2c-5) = (2c-5)*(5a + 7b).
Tātad pilna izteiksme ir:
10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7).
Tādējādi polinoms 10ac + 14bc - 25a - 35b tiek sadalīts 2 faktoros: (2c - 5) un (5a + 7b). Rakstot starp tām var izlaist reizināšanas zīmi
Dažreiz ir šāda veida izteicieni: 5a 2 + 50a 3, šeit jūs varat iekavās ne tikai a vai 5a, bet pat 5a 2. Jums vienmēr jācenšas izņemt lielāko iespējamo kopējo faktoru no iekavas. Mūsu gadījumā, ja mēs sadalām katru terminu ar kopīgu koeficientu, mēs iegūstam:
5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(aprēķinot vairāku pakāpju koeficientu ar vienādām bāzēm, bāze tiek saglabāta, un eksponents tiek atņemts). Tādējādi iekavās paliek viens (nekādā gadījumā neaizmirstiet to uzrakstīt, ja kādu no vārdiem pilnībā izņemat no iekavas) un dalījuma koeficients: 10a. Izrādās, ka:
5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)
Aprēķinu ērtībai ir iegūtas vairākas formulas. Tos sauc par samazinātām reizināšanas formulām un izmanto diezgan bieži. Šīs formulas palīdz faktorizēt polinomus, kas satur pilnvaras. Tas ir vēl viens efektīvs veids faktorizācijas. Tātad, šeit viņi ir:
Aprēķini par tiem tiek veikti pavisam vienkārši. Piemēram:
Darbības pēc starpības kvadrāta formulas tiek veiktas līdzīgi šīm. Tas, kas paliek, ir kvadrātu formulas atšķirība. Šīs formulas piemērus ir ļoti viegli identificēt un atrast starp citām izteiksmēm. Piemēram:
Ir svarīgi, lai katrs no vārdiem būtu kādas izteiksmes kvadrāts. Tad šis polinoms ir jāņem vērā ar kvadrātu starpības formulu. Šim nolūkam nav nepieciešams, lai otrā jauda būtu virs skaitļa. Ir polinomi, kas satur lielas pakāpes, bet joprojām ir piemēroti šīm formulām.
a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2
AT šis piemērs un 8 var attēlot kā (a 4) 2 , tas ir, noteiktas izteiksmes kvadrātu. 25 ir 5 2 un 10a ir 4 - šis ir terminu 2*a 4 *5 dubultais produkts. Tas ir, šo izteiksmi, neskatoties uz pakāpēm ar lieliem eksponentiem, var sadalīt 2 faktoros, lai ar tiem strādātu vēlāk.
Tādas pašas formulas pastāv faktoringa polinomiem, kas satur kubus. Tie ir nedaudz sarežģītāki nekā tie, kuriem ir kvadrāti:
Pēdējās divas formulas praktiski netiek izmantotas polinoma faktorēšanai, jo tās ir sarežģītas, un diezgan reti var atrast polinomus, kas pilnībā atbilst tieši šādai struktūrai, lai tos varētu sadalīt pēc šīm formulām. Bet jums tie joprojām ir jāzina, jo tie būs nepieciešami darbībām pretējā virzienā - atverot iekavas.
Apsveriet piemēru: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b) ((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b) (16a 2 + 8ab + 4b 2 ).
Šeit ir ņemti diezgan pirmskaitļi, tāpēc jūs uzreiz varat redzēt, ka 64a 3 ir (4a) 3 un 8b 3 ir (2b) 3 . Tādējādi šis polinoms tiek paplašināts ar kubu formulas starpību 2 faktoros. Darbības ar kubu summas formulu tiek veiktas pēc analoģijas.
Ir svarīgi saprast, ka ne visus polinomus var sadalīt vismaz vienā no veidiem. Bet ir tādi izteicieni, kas satur lielākus spēkus nekā kvadrātā vai kubā, taču tos var arī izvērst saīsinātās reizināšanas formās. Piemēram: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) (x 8 - 5x 4 g + 25 g 2).
Šajā piemērā ir pat 12 grādi. Bet pat to var aprēķināt, izmantojot kubu summas formulu. Lai to izdarītu, x 12 ir jāattēlo kā (x 4) 3, tas ir, kā kādas izteiksmes kubs. Tagad, nevis a, jums tas jāaizstāj formulā. Nu, izteiksme 125y 3 ir 5y kubs. Nākamais solis ir uzrakstīt formulu un veikt aprēķinus.
Sākumā vai šaubu gadījumā vienmēr varat pārbaudīt, veicot apgriezto reizināšanu. Jums tikai jāatver iekavas iegūtajā izteiksmē un jāveic darbības ar līdzīgiem terminiem. Šī metode attiecas uz visām iepriekš minētajām samazināšanas metodēm: gan darbam ar kopīgu faktoru un grupēšanu, gan operācijām ar kubu un kvadrātu pakāpju formulām.
Polinomi ir vissvarīgākais matemātisko izteiksmju veids. Pamatojoties uz polinomiem, ir izveidota vienādojumu, nevienādību un funkciju kopa. Dažādas sarežģītības pakāpes problēmas bieži satur daudzpusīgas polinomu transformācijas stadijas. Tā kā matemātiski jebkurš polinoms ir vairāku monomu algebriska summa, fundamentālākā un nepieciešamākā izmaiņa ir polinoma sērijas pārveidošana divu (vai vairāku) faktoru reizinājumā. Vienādojumos, kuriem ir iespēja atiestatīt vienu no daļām, polinoma pārvēršana faktoros ļauj pielīdzināt kādu daļu nullei un tādējādi atrisināt visu vienādojumu.
Iepriekšējās video pamācības mums parādīja, ka lineārajā algebrā ir trīs galvenie veidi, kā pārvērst polinomus faktoros. Tas ir kopējā faktora izņemšana no iekavām, pārgrupēšana pēc līdzīgiem terminiem, izmantojot saīsinātas reizināšanas formulas. Ja visiem polinoma dalībniekiem ir kāds kopīgs pamats, tad to var viegli izņemt no iekavām, iekavās atstājot pārējos dalījumus modificēta polinoma formā. Bet visbiežāk viens faktors neatbilst visiem monomiem, ietekmējot tikai daļu no tiem. Šajā gadījumā otrai monomu daļai var būt savs kopīgs pamats. Šādos gadījumos tiek izmantota grupēšanas metode – faktiski iekavējot vairākus faktorus un izveidojot sarežģītu izteiksmi, ko var pārveidot citos veidos. Un, visbeidzot, ir vesels īpašu formulu komplekss. Tie visi ir veidoti ar abstraktiem aprēķiniem, izmantojot vienkāršākās reizināšanas pa vienam vārdam metodi. Aprēķinu laikā daudzi elementi sākotnējā izteiksmē tiek samazināti, atstājot mazus polinomus. Lai katru reizi neveiktu ietilpīgus aprēķinus, var izmantot gatavas formulas, to apgrieztos variantus vai vispārinātus šo formulu secinājumus.
Praksē nereti gadās, ka vienā vingrinājumā ir jāapvieno vairāki paņēmieni, arī tie no polinomu pārveidojumu kategorijas. Apsveriet piemēru. Faktorizēt pēc binomiāla:
Mēs izņemam kopējo koeficientu 3 no iekavām:
3x3 - 3x2 = 3x(x2 - y2)
Kā redzat videoklipā, otrajās iekavās ir norādīta kvadrātu atšķirība. Mēs izmantojam apgriezto saīsināto reizināšanas formulu, iegūstot:
3x(x2 - y2) = 3x(x + y)(x - y)
Vēl viens piemērs. Pārveidosim formas izteiksmi:
18a2 - 48a + 32
Mēs samazinām skaitliskos koeficientus, ievietojot divkāršu iekavās:
18a2 - 48a + 32 = 2 (9a2 - 24a + 16)
Lai atrastu šim gadījumam piemērotu saīsināto reizināšanas formulu, nedaudz jāpielāgo izteiksme, pielāgojot formulu nosacījumiem:
2(9a2-24a + 16) = 2((3a)2-2(3a)4 + (4)2)
Dažreiz formulu mulsinošā izteiksmē nav tik viegli saskatīt. Ir jāpiemēro metodes izteiksmes sadalīšanai tās veidojošos elementos vai jāpievieno iedomāti konstrukciju pāri, piemēram, +x-x. Labojot izteicienu, jāievēro zīmju pēctecības noteikumi un izteiciena nozīmes saglabāšana. Tajā pašā laikā ir jācenšas panākt, lai polinoms pilnībā atbilstu formulas abstraktajai versijai. Mūsu piemērā mēs izmantojam starpības kvadrāta formulu:
2((3a) 2-2(3a)4 + (4) 2) = 2(3a-4)
Veiksim sarežģītāku vingrinājumu. Faktorizēsim polinomu:
U3 — 3 g.2 + 6 g. — 8
Sākumā veiksim ērtu grupēšanu - pirmo un ceturto elementu vienā grupā, otro un trešo - otrajā:
G3 — 3 g. 2 + 6 g. — 8 = (y3 — 8) – (3 g. 2. g. — 6 g.)
Ņemiet vērā, ka zīmes otrajās iekavās ir apgrieztas, jo mēs izņēmām mīnusu no izteiksmes. Pirmajās iekavās mēs varam rakstīt:
(y3 - (2) 3) - (3y2 - 6y)
Tas ļauj izmantot samazināto reizināšanas formulu, lai atrastu kubu atšķirību:
(y3 - (2) 3) - (3y2 - 6y) = (y - 2) (y2 + 2y + 4) - (3y2 - 6y)
No otrajām iekavām mēs izņemam kopējo koeficientu 3y, pēc tam no visas izteiksmes (binomiāls) izņemam iekavas (y - 2), dodam līdzīgus terminus:
(y - 2) (y2 + 2y + 4) - (3y2 - 6y) = (y - 2) (y2 + 2y + 4) - 3y (y - 2) =
\u003d (y - 2) (y2 + 2y + 4 - 3y) \u003d (y - 2) (y2 - y + 4)
Vispārīgā tuvinājumā, risinot šādus uzdevumus, ir noteikts darbību algoritms.
1. Mēs meklējam kopīgus faktorus visai izteiksmei;
2. Grupējam līdzīgus monomālus, meklējam tiem kopīgus faktorus;
3. Mēs cenšamies iekavās atbilstošāko izteiksmi;
4. Pielietojam saīsinātās reizināšanas formulas;
5. Ja kādā posmā process nenotiek, ievadām iedomātu izteiksmju pāri formā -x + x, vai citas pašizceļošas konstrukcijas;
6. Dodām līdzīgus terminus, samazinām nevajadzīgos elementus
Visi algoritma punkti ir reti piemērojami vienā uzdevumā, bet vispārīgā gaita jebkura uzdevuma risināšanā par tēmu var sekot noteiktā secībā.
Pastāv vairāki dažādi veidi polinoma faktorizēšana. Visbiežāk praksē tiek izmantota nevis viena, bet vairākas metodes vienlaikus. Šeit nevar būt noteikta darbību secība, katrā piemērā viss ir individuāls. Bet jūs varat mēģināt ievērot šādu secību:
1. Ja ir kopīgs faktors, tad izņemiet to no kronšteina;
2. Pēc tam mēģiniet faktorizēt polinomu, izmantojot saīsinātās reizināšanas formulas;
3. Ja pēc tam vēl neesam saņēmuši vēlamo rezultātu, jāmēģina izmantot grupēšanas metodi.
1. a^2 - b^2 = (a+b)*(a-b);
2. (a+b)^2 = a^2+2*a*b+b^2;
3. (a-b)^2 = a^2-2*a*b+b^2;
4. a^3+b^3 = (a+b)*(a^2 — a*b+b^2);
5. a^3 - b^3 = (a-b)*(a^2 + a*b+b^2);
Tagad apskatīsim dažus piemērus:
1. piemērs
Faktorizēt polinomu: (a^2+1)^2 — 4*a^2
Pirmkārt, mēs izmantojam saīsināto reizināšanas formulu "kvadrātu starpība" un atveram iekšējās iekavas.
(a^2+1)^2 — 4*a^2 = ((a^2+1)-2*a)*((a^2+1)+2*a) = (a^2+1 -2*a)*(a^2+1+2*a);
Ievērojiet, ka summas kvadrāta un divu izteiksmju starpības kvadrāta izteiksmes tiek iegūtas iekavās. Izmantojiet tos un saņemiet atbildi.
a^2+1-2*a)*(a^2+1+2*a) = (a-1)^2*(a+1)^2;
Atbilde:(a-1)^2*(a+1)^2;
2. piemērs
Faktorizējiet polinomu 4*x^2 - y^2 + 4*x +2*y.
Kā redzat tieši šeit, neviena no metodēm nav piemērota. Bet ir divi kvadrāti, tos var grupēt. Pamēģināsim.
4*x^2 — y^2 + 4*x +2*y = (4*x^2 — y^2) +(4*x +2*y);
Mēs saņēmām formulu kvadrātu atšķirībai pirmajā iekavā, un otrajā iekavā ir kopīgs koeficients divi. Pielietosim formulu un izņemsim kopējo koeficientu.
(4*x^2 — y^2) +(4*x +2*y)= (2*x - y)*(2*x+y) +2*(2*x+y);
Var redzēt, ka tiek iegūtas divas identiskas kronšteini. Mēs tos izņemam kā kopīgu faktoru.
(2*x - y)*(2*x+y) +2*(2*x+y) = (2*x+y)*(2*x - y)+2)= (2*x+ y) )*(2*x-y+2);
Atbilde:(2*x+y)*(2*x-y+2);
Kā redzat, universāla veida nav. Ar pieredzi, prasme tiks iegūta, un polinomu ieskaitīt faktoros būs ļoti viegli.
